前言

前段时间在掘金看到一个热帖 今天又懒得加班了，能写出这两个算法吗？带你去电商公司写商品中心，里面提到了一个比较有意思故事，大意就是一个看似比较简单的电商 sku 的全排列组合算法，但是却有好多人没能顺利写出来。有一个毕业生小伙子在面试的时候给出了思路，但是进去以后还是没写出来，羞愧跑路~

其实排列组合是一个很经典的算法，也是对递归回溯法的一个实践运用，本篇文章就以带你学习一个标准「排列组合求解模板」，耐心看完，你会有更多收获。

需求

需求描述起来很简单，有这样三个数组：

let names = ["iPhone X", "iPhone XS"]

let colors = ["黑色", "白色"]

let storages = ["64g", "256g"]

需要把他们的所有组合穷举出来，最终得到这样一个数组：

[
  ["iPhone X", "黑色", "64g"],
  ["iPhone X", "黑色", "256g"],
  ["iPhone X", "白色", "64g"],
  ["iPhone X", "白色", "256g"],
  ["iPhone XS", "黑色", "64g"],
  ["iPhone XS", "黑色", "256g"],
  ["iPhone XS", "白色", "64g"],
  ["iPhone XS", "白色", "256g"],
]

由于这些属性数组是不定项的，所以不能简单的用三重的暴力循环来求解了。

思路

如果我们选用递归回溯法来解决这个问题，那么最重要的问题就是设计我们的递归函数。

思路分解

以上文所举的例子来说，比如我们目前的属性数组就是：names、colors、storages，首先我们会处理 names 数组，很显然对于每个属性数组，都需要去遍历它，然后一个一个选择后再去和 下一个数组的每一项进行组合。

我们设计的递归函数接受两个参数：

• index 对应当前正在处理的下标，是 names 还是 colors 或是 storage。
• prev 上一次递归已经拼接成的结果，比如 ['iPhone X', '黑色']。

进入递归函数：

1. 处理属性数组的下标0：假设我们在第一次循环中选择了 iPhone XS，那此时我们有一个未完成的结果状态，假设我们叫它 prev，此时 prev = ['iPhone XS']。

2. 处理属性数组的下标1：那么就处理到 colors 数组的了，并且我们拥有 prev，在遍历 colors 的时候继续递归的去把 prev 拼接成 prev.concat(color)，也就是 ['iPhone XS', '黑色'] 这样继续把这个 prev 交给下一次递归。

3. 处理属性数组的下标2：那么就处理到 storages 数组的了，并且我们拥有了 name + color 的 prev，在遍历 storages 的时候继续递归的去把 prev 拼接成 prev.concat(storage)，也就是 ['iPhone XS', '黑色', '64g']，并且此时我们发现处理的属性数组下标已经到达了末尾，那么就放入全局的结果变量 res 中，作为一个结果。

编码实现

let names = ["iPhone X", "iPhone XS"]

let colors = ["黑色", "白色"]

let storages = ["64g", "256g"]

let combine = function (...chunks) {
  let res = []

  let helper = function (chunkIndex, prev) {
    let chunk = chunks[chunkIndex]
    let isLast = chunkIndex === chunks.length - 1
    for (let val of chunk) {
      let cur = prev.concat(val)
      if (isLast) {
        // 如果已经处理到数组的最后一项了 则把拼接的结果放入返回值中
        res.push(cur)
      } else {
        helper(chunkIndex + 1, cur)
      }
    }
  }

  // 从属性数组下标为 0 开始处理
  // 并且此时的 prev 是个空数组
  helper(0, [])

  return res
}

console.log(combine(names, colors, storages))

递归树图

画出以 iPhone X 这一项为起点的递归树图，当然这个问题是一个多个根节点的树，请自行脑补 iPhone XS 为起点的树，子结构是一模一样的。

万能模板

为什么说这种接法是排列组合的「万能模板呢」？来看一下 LeetCode 上的 77. 组合 问题，这是一道难度为 medium 的问题，其实算是比较有难度的问题了：

问题

给定两个整数 n 和 k，返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。

示例:

输入: n = 4, k = 2
输出:
[
  [2,4],
  [3,4],
  [2,3],
  [1,2],
  [1,3],
  [1,4],
]

解答

let combine = function (n, k) {
  let ret = []

  let helper = (start, prev) => {
    let len = prev.length
    if (len === k) {
      ret.push(prev)
      return
    }

    for (let i = start; i <= n; i++) {
      helper(i + 1, prev.concat(i))
    }
  }
  helper(1, [])
  return ret
}

可以看出这题和我们求解电商排列组合的代码竟然如此相似。只需要设计一个接受 start排列起始位置、prev上一次拼接结果为参数的递归 helper函数，

然后对于每一个起点下标 start，先拼接上 start位置对应的值，再不断的再以其他剩余的下标作为起点去做下一次拼接。当 prev 这个中间状态的拼接数组到达题目的要求长度 k后，就放入结果数组中。

剪枝

在这个解法中，有一些递归分支是明显不可能获取到结果的，我们每次递归都会循环尝试 <= n的所有项去作为start，假设我们要求的数组长度 k = 3，最大值 n = 4。

而我们以 prev = [1]，再去以 n = 4 为 start 作为递归的起点，那么显然是不可能得到结果的，因为 n = 4 的话就只剩下 4这一项可以拼接了，最多也就拼接成 [1, 4]，不可能满足 k = 3 的条件。

所以在进入递归之前，就果断的把这些“废枝”给减掉。

let combine = function (n, k) {
  let ret = []

  let helper = (start, prev) => {
    let len = prev.length
    if (len === k) {
      ret.push(prev)
      return
    }

    // 还有 rest 个位置待填补
    let rest = k - prev.length
    for (let i = start; i <= n; i++) {
      if (n - i + 1 < rest) {
        continue
      }
      helper(i + 1, prev.concat(i))
    }
  }
  helper(1, [])
  return ret
}

相似题型

当然，力扣中可以套用这个模板的相似题型还有很多，而且大多数难度都是 medium的，比如快手的面试题子集 II-90，可以看出排列组合的递归解法还是有一定的难度的。

我在维护的 LeetCode 题解仓库 中已经按标签筛选好 「递归与回溯」类型的几道题目和解答了，感兴趣的小伙伴也可以一起攻破它们。

总结

排列组合问题并不是空中楼阁，在实际工作中也会经常遇到这种场景，掌握了递归回溯的标准模板当然不是为了让你死记硬背套公式，而是真正的理解它。遇到需要递归解决的问题。

1. 画出递归树状图，找出递归公式。
2. 对于不可能达成条件的分支递归，进行合理的「剪枝」。

希望阅读完本篇文章的你，能对递归和排列组合问题有进一步的理解和收获。

❤️ 感谢大家

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