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Page du cours d'analyse complexe à Nancy Année : printemps 2024

Le partiel porte sur tout ce qu'on a fait jusqu'à présent, en cours et TD.

Tout le cours est exigible (énoncés et preuves).

Exception : les démonstrations vues dans le CM du 13 mars ne sont pas exigibles. Mais les énoncés vus le 13 mars sont à savoir.

La deuxième interro n'a pas été très réussie. Les points sur le cours ne sont pas pris, or c'est la partie la plus déterministe, il faut prendre ces points. Il y aura des questins de cours (énoncés, et démonstrations).

Il y aura d'autres interros et nous avons prévu de faire sauter l'interro avec la note la plus basse, donc une éventuellemen mauvaise note à l'interro 2 sera rattrapable, pas de panique.

Conseils vu l'interro :

• entraînez-vous au calcul sur les opérateurs de Wirtinger, n'inventez pas de formules, essayez de calculer en restant avec $z$ et $\bar z$ sans repasser systématiquement à $x$ et $y$. Si vraiment vous avez un doute, repassez en coordonnées artésiennes, mais le but est d'apprendre à calculer avec les outils efficaces.
• justifiez vos raisonnements, éventuellement rapidement si c'est facile et déjà fait auparavant. N'intervertissez pas de somme et d'intégrale sans justifier, par exemple.
• vous devez pouvoir donner des exemples simples de fonctions holomorphes et non holomorphes, en justifiant.

Suggestion de révisions :

• vous devez en priorité être au point sur les interros 1 et 2, faites ce qu'il faut pour cela : relire le cours et TD, si besoin lire des corrections d'exercices à la BU dans n'importe quel livre d'analyse complexe.
• Ensuite, il faut travailler le cours, la feuille de compléments sur la représentation intégrale des coefficients (dont je vous ai dit le 29 février qu'elle serait au programme : elle ne nécessite que le cours de L2 et la formule intégrale), et le TD5.

Les annales des années précédentes peuvent aider mais les programmes n'étaient pas forcément les mêmes, le cours n'avait pas forcément couvert les mêmes chapitres etc.

J'ai eu pas mal de questions sur la décomposition en éléments simples dans mon groupe. Si vous voulez réviser, prenez des exos corrigés de L1 sur les chapitres "primitives", par exemple https://www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=bde/analyse/integration/integration-calcul&type=fexo. Ne passez pas des heures là-dessus, mais jusqu'aux pôles doubles ça doit être maîtrisé. Attention à ne pas oublier la partie entière, s'il y en a une. Si vous avez de grosses lacunes là-dessus, pas d'inquiétude, ça se rattrape très bien. Il n'y a en effet quasiment pas de cours : http://exo7.emath.fr/cours/livre-algebre-1.pdf, chapitre "Polynômes > Fractions rationnelles".

Programme : tout le cours y compris la dernière séance. Dans le dossier "TD et interros", j'ai mis une feuille de préparation à cette interrogation.

L'interrogation portera surtout sur ce qui a précédé la dernière séance, mais vous devez connaître la preuve de la formule intégrale pour les coefficients d'une série entière, et savoir calculer une intégrale curviligne très simple. La feuille de préparation contient un exercice corrigé là-dessus.

Note : une feuille de compléments a été ajoutée : elle contient des exercices sur les séries entières faisables uniquement à l'aide de la formule intégrale pour les $a_n$ démontrée en cours. Ces exercices ne sont pas nécessaires pour l'interrogation, mais ce sont de bons exercices.

• Contrôle continu : 0,2 (DMs, interrogations en TD dont une avant le premier partiel, courtes interrogations pendant les CMs)
• Partiel : 0,3 (épreuve écrite, 2h)
• Examen : 0,5 (épreuve écrite, 3h)

Les feuilles de TD sont dans le dossier TD

La référence principale risque d'être le polycopié de cours de Damian Brotbek, même si le cours ne suivra pas forcément ce polycopié pour tous les chapitres. Les trois premières références sont disponibles sur cette page (dossier biblio).

• Damian Brotbek, Analyse complexe, poly d'une ancienne version de ce même cours. 166 pages, cours et exercices. Très nombreuses illustrations facilitant la compréhension.
• Michèle Audin, Analyse Complexe, cours et exercices, disponible sur cette page github. (Dossier 'biblio'.)
• Jean-Pierre Demailly, Variable complexe. 239 pages. Jean-Pierre Demailly était un spécialiste de géométrie algébrique et analytique complexe et une figure extrêmement appréciée des étudiants et collègues. Il est décédé il y a deux ans. Ce poly est le poly de son cours à Lyon en 2003-2004, que j'ai eu la chance de suivre en L3.
• Henri Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, disponible à la BU, une référence classique.

Des feuilles de TD seront distribuées. Les exercices seront majoritairement pris dans le poly de Michèle Audin, dans le poly de Damian Brotbek, et autres sources classiques.

Vous pouvez trouver des exercices supplémentaires (corrigés ou non) sur les sites bibmath ou exo7. Normalement, nous avions en 2021 uploadé la plupart des exercices du poly de D. Brotbek sur le site exo7.

Vous pouvez vous entraîner sur l'appli suivante, qui contient des thèmes d'analyse complexe : https://dmegy.perso.math.cnrs.fr/quiz/

Ce cours couvre la totalité du programme de l'agrégation en analyse complexe mais ne va pas au-delà faute de temps, ce qui signifie qu'il reste finalement à un niveau assez élémentaire. Voici des thèmes non abordés:

• théorie analytique des nombres : voir le livre de Tenenbaum, ou Colmez
• fonctions spéciales.
• plus de représentation conforme et ses applications : voir le livre de Lavrentiev et Chabat, éditions Mir, exceptionnel sur ce sujet.
• Introduction aux surfaces de Riemann : voir le poly de Demailly plus haut.
• équations différentielles à variable complexe : sujet passionnant qui va vers la topologie algébrique (groupe fondamental et revêtements), les groupes, les pavages (euclidiens, sphériques ou hyperboliques suivant le type de l'équadiff), et les surfaces de Riemann. Par exemple, l'équation différentielle $2f'(z) = f(z)/z$ est définie sur $\C^$, mais ses solutions sont-elles définies sur $\C^$ ?

L'analyse complexe tombe assez régulièrement aux écrits de l'agrégation. Parfois ce n'est que pour appliquer les zéros isolés, ou Liouville, mais de temps en temps il y a tout de même des choses plus avancées, comme l'utilisation des résidus (souvent en analyse fonctionnelle, ou pour du calcul fonctionnel holomorphe sur les matrices), ou bien du théorème de Rouché ou ses applications (dans ce cas, le sujet fait souvent redémontrer le théorème). Voici une liste de quelques sujets d'écrits d'agreg où il y a de l'analyse complexe (liste préparées pour les agrégatifs)

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