Merge branch 'master' of https://github.com/galushin/Papers

galushin · Apr 13, 2016 · 1139d7b · 1139d7b
2 parents 81a0f8c + 5abecb9
commit 1139d7b
Show file tree

Hide file tree

Showing 2 changed files with 412 additions and 9 deletions.
diff --git a/Distributions/distributions.lyx b/Distributions/distributions.lyx
@@ -9528,6 +9528,312 @@ reference "eq:bernoulli_phi"
 \end_inset
 
 
+\end_layout
+
+\begin_layout Section
+<<<<<<< HEAD
+Точное распределение равномерно распределённых случайных величин
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Пусть имеется 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ независимых случайных величин 
+\begin_inset Formula $X_{1},...,X_{n}$
+\end_inset
+
+ с одинаковым равномерным распределением на интервале 
+\begin_inset Formula $\left[0;1\right]$
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+f_{1}\left(x\right)=\begin{cases}
+1, & x\in\left[0;1\right]\\
+0, & x\notin\left[0;1\right]
+=======
+Примеры вычисления распределений
+\end_layout
+
+\begin_layout Subsection
+Вычисление точного распределения суммы равномерно-распределённых случайных
+ величин
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Пусть 
+\begin_inset Formula $X_{k}$
+\end_inset
+
+ — случайная величина с равномерным распределением на интервале 
+\begin_inset Formula $[0;1]$
+\end_inset
+
+.
+ Найдём точное распределение суммы 
+\begin_inset Formula $n$
+\end_inset
+
+ таких случайных величин.
+ Функция распределения таких случайных величин есть 
+\begin_inset Formula 
+\[
+f_{X_{k}}\left(x\right)=\begin{cases}
+1 & x\in\left[0;1\right]\\
+0 & x\notin\left[0;1\right]
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\end{cases}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+<<<<<<< HEAD
+Найдём распределение случайной величины
+\begin_inset Formula 
+\[
+Y_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{k}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Функция плотности распределения суммы случайных величин есть свёртка функций
+ плотности распределений слагаемых
+=======
+Найдём характеристическую функцию этого распределения, по определению 
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+<<<<<<< HEAD
+ссылка?
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+ Для произвольного числа слагамых применение этого способа вычислений не
+ подходит.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Мы воспользуемся преобразованием Лапласа, аналогичным характеристической
+ функции, но подходящих для функций, которые не являются интегрируемыми
+ с квадратом
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+ссылка и уточнение
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+.
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Преобразование Лапласа определяется как
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+F\left(p\right)=\intop_{0}^{+\infty}f\left(x\right)e^{-px}dx.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+В нашем случае
+=======
+нужна ссылка
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+:
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+<<<<<<< HEAD
+F\left(p\right)=\intop_{0}^{1}1\cdot e^{-px}dx=\frac{1}{-p}\left.e^{-px}\right|_{0}^{1}=\frac{1-e^{-p}}{p}.
+=======
+\varphi_{X_{k}}\left(\lambda\right)=M\left[e^{i\lambda X_{k}}\right]=\intop_{0}^{1}e^{i\lambda x}dx=\frac{1}{i\lambda}\left.e^{i\lambda x}\right|_{0}^{1}=\frac{e^{i\lambda}-1}{i\lambda}.
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+<<<<<<< HEAD
+\begin_inset Formula 
+\[
+G_{n}\left(p\right)=\frac{\left(1-e^{-p}\right)^{n}}{p^{n}}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{e^{-kp}}{p^{n}}.
+=======
+Пусть теперь 
+\begin_inset Formula 
+\[
+Y_{n}=\sum_{k=1}^{n}X_{n}.
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\]
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+<<<<<<< HEAD
+Преобразование Лапласа является линейным, а множитель 
+\begin_inset Formula $e^{-kp}$
+\end_inset
+
+ соответствует сдвигу аргументу функции на 
+\begin_inset Formula $k$
+\end_inset
+
+
+=======
+Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведени
+ю характеристических функций слагаемых
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+нужна ссылка
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+<<<<<<< HEAD
+, поэтому вопрос сводится к нахождению функции, изображение Лапласа которой
+ есть 
+\begin_inset Formula $\frac{1}{p^{n}}$
+\end_inset
+
+.
+ Можно показать
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+доказать
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+, что это есть функция
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+f\left(x\right)=\frac{x^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\cdot\left[x\ge0\right]=\frac{x_{+}^{n-1}}{\left(n-1\right)!},
+\]
+
+\end_inset
+
+где знак 
+\begin_inset Quotes fld
+\end_inset
+
+плюс
+\begin_inset Quotes frd
+\end_inset
+
+ в нижнем индексе обозначает 
+\begin_inset Quotes fld
+\end_inset
+
+положительную часть числа
+\begin_inset Quotes frd
+\end_inset
+
+:
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+\[
+x_{+}=\begin{cases}
+x, & x\ge0\\
+0, & x<0
+\end{cases}.
+\]
+
+\end_inset
+
+
+=======
+:
+\begin_inset Formula 
+\begin{multline*}
+\varphi_{Y_{n}}\left(\lambda\right)=\left(\frac{e^{i\lambda}-1}{i\lambda}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{e^{i\lambda k}}{i^{n}\lambda^{n}}=\\
+=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{\left(e^{i\lambda k}-1\right)}{i^{n}\lambda^{n}}.
+\end{multline*}
+
+\end_inset
+
+
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+Для нахождения функции плотности распределения воспользуемся формулой обратного
+ преобразования
+\begin_inset Note Note
+status open
+
+\begin_layout Plain Layout
+нужна ссылка
+\end_layout
+
+\end_inset
+
+:
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+\end_layout
+
+\begin_layout Standard
+\begin_inset Formula 
+<<<<<<< HEAD
+\[
+g_{n}\left(x\right)=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\cdot\left(x-k\right)_{+}^{n-1}.
+\]
+=======
+\begin{multline*}
+f_{Y_{n}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\varphi_{Y_{n}}\left(\lambda\right)e^{-i\lambda x}d\lambda=.\\
+=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left(-1\right)^{k}\frac{1}{2\pi}\intop_{-\infty}^{+\infty}\frac{\left(e^{i\lambda k}-1\right)e^{-i\lambda x}}{i^{n}\lambda^{n}}d\lambda.
+\end{multline*}
+>>>>>>> 2fd9de2fab596d664d0fd7206029b51a9775f6cb
+
+\end_inset
+
+
 \end_layout
 
 \begin_layout Section
@@ -16002,7 +16308,7 @@ F\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\mathrm{arctg\left(x\right)+\frac{1}{2}.}
 \begin_layout Standard
 \begin_inset Formula 
 \[
-\frac{1}{\pi}\mathrm{arcrg\left(\mathrm{tg}\Phi\right)+\frac{1}{2}=V},
+\frac{1}{\pi}\mathrm{arctg\left(\mathrm{tg}\Phi\right)+\frac{1}{2}=V},
 \]
 
 \end_inset