translations issue in chapter_preliminaries/probability (#751)

d2l-ai · astonzhang · May 8, 2021 · Mar 10, 2021 · Mar 19, 2021 · Mar 19, 2021
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 * 对于任意事件 $\mathcal{A}$，其概率从不会是负数，即 $P(\mathcal{A}) \geq 0$；
 * 整个样本空间的概率为 $1$，即 $P(\mathcal{S}) = 1$；
-* 对于任意事件 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots$ 的可数序列，这些事件*互斥*（mutually exclusive）（对于所有 $i \neq j$ 都有 $\mathcal{A}_i \cap \mathcal{A}_j = \emptyset$），任何事件发生的概率等于它们各自发生的概率之和，即 $P(\bigcup_{i=1}^{\infty} \mathcal{A}_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(\mathcal{A}_i)$。
+* 对于*互斥*（mutually exclusive）（对于所有 $i \neq j$ 都有 $\mathcal{A}_i \cap \mathcal{A}_j = \emptyset$）事件的任意一个可数序列 $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \ldots$ ，序列中任意一个事件发生的概率等于它们各自发生的概率之和，即 $P(\bigcup_{i=1}^{\infty} \mathcal{A}_i) = \sum_{i=1}^{\infty} P(\mathcal{A}_i)$。
 
 这些也是概率论的公理，由科尔莫戈罗夫于 1933 年提出。有了这个公理系统，我们可以避免任何关于随机性的哲学争论；相反，我们可以用数学语言严格地推理。例如，让事件 $\mathcal{A}_1$ 为整个样本空间，且当所有$i > 1$时的$\mathcal{A}_i = \emptyset$，我们可以证明 $P(\emptyset) = 0$，即不可能发生事件的概率是 $0$。
 
 ### 随机变量
 
 在我们掷骰子的随机实验中，我们引入了 *随机变量*（random variable） 的概念。随机变量几乎可以是任何数量，并且不是确定性的。它可以在随机实验的一组可能性中取一个值。考虑一个随机变量 $X$，其值在掷骰子的样本空间 $\mathcal{S} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 中。我们可以将事件 “看到一个 $5$” 表示为 $\{X = 5\}$ 或 $X = 5$，其概率表示为 $P(\{X = 5\})$ 或 $P(X = 5)$。通过 $P(X = a)$，我们区分了随机变量 $X$ 和 $X$ 可以采取的值（例如 $a$）。然而，这可能会导致繁琐的表示。
-为了简化符号，一方面，我们可以将 $P(X)$ 表示为随机变量 $X$ 上的 *分布*（distribution）：分布告诉我们 $X$ 获得任意值的概率。另一方面，我们可以简单用 $P(a)$ 表示随机变量取值 $a$ 的概率。由于概率论中的事件是来自样本空间的一组结果，因此我们可以为随机变量指定值的可取范围。例如，$P(1 \leq X \leq 3)$ 表示事件的概率 $\{1 \leq X \leq 3\}$，这意味着 $\{X = 1, 2, \text{or}, 3\}$。等价地，$P(1 \leq X \leq 3)$ 表示随机变量 $X$ 从 $\{1, 2, 3\}$ 中取值的概率。
+为了简化符号，一方面，我们可以将 $P(X)$ 表示为随机变量 $X$ 上的 *分布*（distribution）：分布告诉我们 $X$ 获得任意值的概率。另一方面，我们可以简单用 $P(a)$ 表示随机变量取值 $a$ 的概率。由于概率论中的事件是来自样本空间的一组结果，因此我们可以为随机变量指定值的可取范围。例如，$P(1 \leq X \leq 3)$ 表示事件 $\{1 \leq X \leq 3\}$，即 $\{X = 1, 2, \text{or}, 3\}$的概率。等价地，$P(1 \leq X \leq 3)$ 表示随机变量 $X$ 从 $\{1, 2, 3\}$ 中取值的概率。
 
-请注意，*离散* (discrete) 随机变量（如骰子的侧面）和 *连续* (continuous) 变量（如人的体重和身高）之间存在微妙的区别。问两个人是否具有完全相同的身高没有什么意义。如果我们进行足够精确的测量，你会发现这个星球上没有两个人具有完全相同的身高。事实上，如果我们采取足够精细的测量，在你起床和去睡觉时都不会得到相同的身高。因此，问一个人身高为 1.80139278297192196202 米高的概率是没有任何意义的。考虑到世界上的人口数量，这个概率几乎是 0。在这种情况下，询问某人的身高是否落入给定的区间，比如是否在 1.79 米和 1.81 米之间更有意义。在这些情况下，我们将这个看到某个数值的可能性量化为 *密度* (density)。高度恰好 1.80 米没有概率，但密度不是 0。在任何两个不同高度之间的区间，我们都有非零的概率。在本节的其余部分中，我们将考虑离散空间中的概率。对于连续随机变量的概率，你可以参考 :numref:`sec_random_variables`。
+请注意，*离散* (discrete) 随机变量（如骰子的侧面）和 *连续* (continuous) 变量（如人的体重和身高）之间存在微妙的区别。问两个人是否具有完全相同的身高没有什么意义。如果我们进行足够精确的测量，你会发现这个星球上没有两个人具有完全相同的身高。事实上，如果我们采取足够精细的测量，在你起床和去睡觉时都不会得到相同的身高。因此，问一个人身高为 1.80139278297192196202 米高的概率是没有任何意义的。考虑到世界上的人口数量，这个概率几乎是 0。在这种情况下，询问某人的身高是否落入给定的区间，比如是否在 1.79 米和 1.81 米之间更有意义。在这些情况下，我们将这个看到某个数值的可能性量化为 *密度* (density)。高度恰好为 1.80 米的概率为 0，但密度不是 0。在任何两个不同高度之间的区间，我们都有非零的概率。在本节的其余部分中，我们将考虑离散空间中的概率。对于连续随机变量的概率，你可以参考 :numref:`sec_random_variables`。
 
 ## 处理多个随机变量
 
-很多时候，我们会希望一次考虑多个随机变量。比如，我们可能需要对疾病和症状之间的关系进行建模。给定一个疾病和一个症状，比如 “流感” 和 “咳嗽”，以某个概率存在或不存在某个患者身上。虽然我们可能希望这两者发生的概率都接近于零，但我们可能需要估计这些概率和概率之间的关系，以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。
+很多时候，我们会希望一次考虑多个随机变量。比如，我们可能需要对疾病和症状之间的关系进行建模。给定一个疾病和一个症状，比如 “流感” 和 “咳嗽”，以某个概率存在或不存在于某个患者身上。虽然我们可能希望这两者发生的概率都接近于零，但我们可能需要估计这些概率以及概率之间的关系，以便我们可以运用我们的推断来实现更好的医疗服务。
 
 再举一个更复杂的例子：图像包含数百万像素，因此有数百万个随机变量。在许多情况下，图像会附带一个标签，标识图像中的对象。我们也可以将标签视为一个随机变量。我们甚至可以将所有元数据视为随机变量，例如位置、时间、光圈、焦距、ISO、对焦距离和相机类型。所有这些都是联合发生的随机变量。当我们处理多个随机变量时，会有若干个变量是我们感兴趣的。
 
 ### 联合概率
 
-第一个被称为 *联合概率* (joint probability) $P(A = a, B=b)$。给定任何值 $a$ 和 $b$, 联合概率可以回答,  $A=a$ 和 $B=b$ 同时满足的概率是多少? 请注意，对于任何 $a$ 和 $b$ 的取值，$P(A = a, B=b) \leq P(A=a)$。这点是确定的，因为要同时发生 $A=a$ 和 $B=b$，$A=a$就必须发生，$B=b$也必须发生（反之亦然）。因此，$A=a$ 和 $B=b$ 同时发生的可能性不大于 $A=a$ 或是 $B=b$ 的可能性。
+第一个被称为 *联合概率* (joint probability) $P(A = a, B=b)$。给定任何值 $a$ 和 $b$, 联合概率可以回答,  $A=a$ 和 $B=b$ 同时满足的概率是多少? 请注意，对于任何 $a$ 和 $b$ 的取值，$P(A = a, B=b) \leq P(A=a)$。这点是确定的，因为要同时发生 $A=a$ 和 $B=b$，$A=a$就必须发生，$B=b$也必须发生（反之亦然）。因此，$A=a$ 和 $B=b$ 同时发生的可能性不大于 $A=a$ 或是 $B=b$ 单独发生的可能性。
 
 ### 条件概率