使用bevy实现基于XPBD的简单刚体模拟(CPU)

复现《Detailed Rigid Body Simulation with Extended Position Based Dynamics》， 论文解读可参考Report 或者 博客。

实现Positional Constraint , 基于Positional Constraints实现Distance Joint

未实现Angular Constraints（约束带角度的关节）以及Contact Constraints（需要碰撞检测）

cargo run --exampl rigid_sim_demo -- 1 1 1 1 1.5 0 0 0

参数：

1. size_x: Cuboid在x轴的Size
2. `size_y: Cuboid在y轴的Size
3. size_x: Cuboid在z轴的Size
4. chain_count: 链条的数量，默认为1
5. rest_length: DistanceJoint的rest length, 默认为1.5
6. compliacne`： 柔性，默认为0（设置为零，模拟来模拟无限刚性约束
7. linear_vel_damping: 线性速度阻尼，默认为零
8. angular_vel_damping: 角速度阻尼，默认为零

说明：

DistanceJoint的两个点设置在第一个刚体的右下角(-0.5 * cuboid_size)和第二个刚体的左上角(0.5 * cuboid_size)，若设置为质心位置，可模拟n摆现象。

通过鼠标点击可对刚体施加一个力（目前设定大小为100N,方向是-Vec3::Z）

基于《Detailed Rigid Body Simulation with Extended Position Based Dynamics》与Smallsteps的思路提出的以下算法流程：

• Integration Methods：半隐式方式， 角度使用gyroscopic motion。

  

• XPBD：可以有效消除刚性依赖时间步长（time step）和 求解约束的迭代次数（只需要在一个时间步长上求解一次）。即刚性不依赖于时间和迭代次数，可以用参数进行控制。

• SmallStep: 采用较小的时间步长来推进模拟，而不是迭代求解每个较大时间步长的约束系统，我们可以提高系统的稳定性并减少各种刚度参数的误差。

• 实验中发现对于旋转使用半隐式方法进行更新会发散，结果不稳定，导致陀螺仪现象
• 使用gyroscopic torque会缓解上述问题，在GDC 2015上有提到。

gyroscopic 求解过程如下：

距离约束是最基本的一种关节，用于约束两个点之间的距离。如下图

设约束距离为$l$, 约束方程为：$C=||(x_a + r_a) - (x_b+r_b)|||\ge0$ .

根据推导，得到的约束梯度(Constraint Gradien）向量$\Delta C$方向是：$(x_a + r_a) - (x_b+r_b) / ||x_a + r_a - x_b+r_b||$, 约束梯度c的大小是$(x_a + r_a) - (x_b+r_b)-l$

根据的约束梯度(Constraint Gradien）向量$\Delta C$, 应用Positional Constraint进行模拟。使得往满足约束的方向前进。

• https://matthias-research.github.io/pages/publications/XPBD.pdf

• https://matthias-research.github.io/pages/tenMinutePhysics/09-xpbd.pdf

• https://matthias-research.github.io/pages/publications/PBDBodies.pdf

• https://matthias-research.github.io/pages/publications/smallsteps.pdf

• https://carmencincotti.com/2022-08-08/xpbd-extended-position-based-dynamics/

• XPBD论文解读(Extended Position-Based Dynamics) - zilch的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/406652407

• 2D 游戏物理引擎 - 关节约束 - ACRL的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/665405974

• https://box2d.org/files/ErinCatto_NumericalMethods_GDC2015.pdf

• Games103

• https://bevyengine.org/

• https://github.com/aevyrie/bevy_mod_picking